MATEMATICA

Il corso ha un duplice obiettivo: da un lato intende fornire strumenti di calcolo di base, utili per le discipline di indirizzo; dall’altro intende formare o consolidare l’attitudine al ragionamento e alla risoluzione di problemi, attività tipiche di una educazione matematica e di utilità trasversale.

Si partirà sempre da un problema pratico per poi fornire le conoscenze matematiche utili alla risoluzione del problema posto.

Le esercitazioni saranno volte, in modo particolare, a sviluppare l'attitudine a risolvere problemi. 

Risultati di apprendimento attesi (RAA) secondo i descrittori di Dublino:

a. Conoscenze e comprensione: conoscenza di elementi base di statistica, funzioni, goniometria e trigonometria, calcolo differenziale, cenni di calcolo integrale.

b. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: saper manipolare dati statistici anche con l’ausilio di software, saper operare con i fondamenti della trigonometria, saper operare con le funzioni, saper interpretare grafici di funzioni.

c. Autonomia di giudizio: saper dare una interpretazione matematica di problemi reali, saper dedurre informazioni relative a problemi reali a partire dai dati matematici, saper dare giudizi su fatti reali a partire da considerazioni matematiche. 

d. Abilità comunicative: saper comunicare in modo efficace i significati matematici oggetto di studio, saper comunicare in modo rigoroso i concetti matematici studiati.

e. Capacità di apprendere: riuscire a studiare in autonomia, riuscire a collegare tra loro argomenti trattati durante il corso, cogliere connessioni tra gli argomenti matematici trattati e altre discipline (transfer laterale), riuscire comprendere anche argomenti matematici più complessi non trattati durante il corso (transfer verticale).

Il corso prevede un numero di ore di esercitazioni doppio rispetto al numero di lezioni frontali, per la precisione 42 ore di Didattica interattiva e 21 di Didattica erogativa, per un totale di 63 ore. (RAA b.). Qualora il corso sarà fruito in modalità mista (a distanza – in presenza) le lezioni in presenza saranno dedicate prevalentemente alle esercitazioni pratiche.

I concetti matematici verranno introdotti a partire da problemi reali (RAA c. ed e.) mediante un approccio visivo e pratico, anche utilizzando software ad alto impatto didattico (RAA a. e b.), per poi arrivare a un vero e proprio formalismo (RAA d.), tramite lezioni partecipate (RAA d.).

Qualora l'insegnamento venisse impartito in modalità mista o a distanza potranno essere introdotte le necessarie variazioni rispetto a quanto dichiarato in precedenza, al fine di rispettare il programma previsto e riportato nel syllabus.

Informazioni per studenti con disabilità e/o DSA

A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze.

E' possibile rivolgersi anche alla docente referente CInAP (Centro per l’Inclusione Attiva e Partecipata - Servizi per le Disabilità e/o i DSA) del nostro Dipartimento, prof.  Anna De Angelis.

Requisiti culturali di matematica di base indispensabili:

• Aritmetica (numeri, operazioni, percentuali, approssimazioni);
• Geometria (poligoni, teorema di Pitagora);
• Algebra (polinomi, equazioni e disequazioni di primo grado, equazioni e disequazioni di secondo grado).

La frequenza al corso è fortemente consigliata, soprattutto per le esercitazioni, che coinvolgeranno attivamente gli studenti, favorendo il loro apprendimento.

Verranno rilevate le presenze, solo per fini statistici e di valutazione del corso.

INTRODUZIONE 
Cos’è un modello matematico 

STATISTICA

La statistica descrittiva univariata. Campione, dati statistici. Rappresentazione di dati statistici. Indici di posizione centrale: media aritmetica, mediana, media ponderata. Quartili, decili e percentili. Indici di dispersione: deviazione standard. Coefficiente di variazione.

Correlazione e statistica bivariata. Relazione tra due variabili. Covarianza e coefficiente di correlazione di Pearson. Retta di regressione.

FUNZIONI 
Introduzione al concetto di funzione: funzioni reali a variabile reale. Funzioni iniettive. Funzioni crescenti e decrescenti. Funzioni pari e dispari. Funzioni invertibili. Funzioni composte.  
Rette come funzioni lineari. Rette parallele agli assi cartesiani.  Rette per l’origine. Coefficiente angolare e intercetta. Equazione generica della retta.  
Funzioni quadratiche: parabole. Funzioni cubo e funzioni cubiche. Iperboli. Funzioni radice.
Funzioni esponenziali. Logaritmi.  Il numero e e il logaritmo naturale. 
Funzioni logaritmiche.  

GONIOMETRIA, FUNZIONI GONIOMETRICHE E TRIGONOMETRIA.

Radianti, lunghezza di un arco. Circonferenza goniometrica. Funzione seno e coseno: seno e coseno di archi noti (30°, 45°, 60°, 90°, 180°, archi associati). Prima relazione fondamentale della goniometria.  Funzione tangente. Seconda relazione fondamentale della goniometria. 

Seno, coseno e tangente come funzioni reali di variabile reale.  

Trigonometria applicata ai triangoli rettangoli: Primo e secondo teorema di triangoli rettangoli e loro applicazioni.

Cenni di trigonometria applicata a triangoli qualsiasi: Teorema della corda. Teorema dei seni. 

LIMITI  

Intorni di un punto. Funzioni asintotiche. Definizione di limite finito per x che tende a un valore finito. Definizione unitaria di limite. Limiti destri e sinistri. Calcolo dei limiti e forme indeterminate. Confronto tra infiniti e gerarchia degli infiniti. 

DERIVATE 

Significato geometrico di derivata in un punto: limite del rapporto incrementale. Funzione derivata. Derivate elementari. Estremi di una funzione: teorema di Fermat (solo enunciato). 

CENNI DI INTEGRALI

Integrale indefinito come inverso della derivata. Significato dell'integrale definito. 

[1] Dario Benedetto, Mirko Degli Esposti, Carlotta Maffei. Matematica per scienze della vita. Quarta edizione

Casa Editrice Ambrosiana. Distribuzione esclusiva Zanichelli.

[2] Daniela Ferrarello. Mate-pratica: Matematica utile nelle scienze agro-alimentari. Federica Web Learning.

[3] Daniela Ferrarello. Dispense fornite dalla docente.

È disponibile sulla piattaforma Federica Web Learning, un MOOC (Massive Open On-line Course) dal titolo "Mate-pratica: Matematica utile nelle scienze agro-alimentari", realizzato dalla prof.ssa Daniela Ferrarello, fruibile on-line in modalità asincrona, che copre buona parte degli argomenti trattati durante il corso. 

Per iscriversi gratuitamente accedere al corso dalla pagina https://lms.federica.eu/enrol/index.php?id=704 e usare il codice Ferrarello1

Modalità di verifica dell'apprendimento

La prova finale consiste in una prova scritta (con esercizi) e una prova orale. 

Per chi si avvale delle prove intermedie, gli argomenti della prova scritta saranno suddivisi in due parti. Si può utilizzare la prima parte solo avendo ricevuto una votazione pari o superiore a 18/30

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere.

Griglia di valutazione: 

Non idoneo

Conoscenza e comprensione argomento: Importanti carenze. Significative imprecisioni

Conoscenze applicate: Scarsa capacità di manipolazione degli oggetti matematici.

Autonomia di giudizio: Scarsa o assente capacità di dare giudizi su fatti reali o realistici a partire da considerazioni matematiche.

Abilità comunicative: Carenze nella comunicazione dei significati matematici. Uso assente o improprio del linguaggio matematico.

Capacità di apprendere: Scarsa capacità di collegare tra loro argomenti studiati. Scarsa capacità di risolvere problemi.

18-20

Conoscenza e comprensione argomento: Sufficiente. Imprecisioni evidenti.

Conoscenze applicate: Capacità appena sufficiente di manipolazione degli oggetti matematici.

Autonomia di giudizio: Sufficiente capacità di dare giudizi su fatti reali o realistici a partire da considerazioni matematiche.

Abilità comunicative: Sufficiente capacità di comunicare significati matematici. Uso sufficiente di appropriato linguaggio matematico.

Capacità di apprendere: Sufficiente capacità di collegare tra loro argomenti studiati. Sufficiente capacità di risolvere problemi se guidati.

21-23

Conoscenza e comprensione argomento: Buona. Con imprecisioni.

Conoscenze applicate: Capacità di manipolazione degli oggetti matematici.

Autonomia di giudizio: Capacità di dare giudizi su fatti reali o realistici a partire da considerazioni matematiche.

Abilità comunicative: Capacità di comunicare significati matematici. Uso appropriato del linguaggio matematico.

Capacità di apprendere: Capacità di collegare tra loro argomenti studiati. Capacità di risolvere problemi con una guida parziale.

24-26

Conoscenza e comprensione argomento: Buona. Con poche imprecisioni.

Conoscenze applicate: Buona capacità di manipolazione degli oggetti matematici.

Autonomia di giudizio: Buona capacità di dare giudizi su fatti reali o realistici a partire da considerazioni matematiche.

Abilità comunicative: Buona capacità di comunicare significati matematici. Uso appropriato del linguaggio matematico.

Capacità di apprendere: Buona capacità di collegare tra loro argomenti studiati. Capacità di risolvere problemi in autonomia.

27-29

Conoscenza e comprensione argomento: Ottima. Senza imprecisioni.

Conoscenze applicate: Più che buona capacità di manipolazione degli oggetti matematici.

Autonomia di giudizio: Più che buona capacità di dare giudizi su fatti reali o realistici a partire da considerazioni matematiche e di fare considerazioni matematiche a partire da fatti reali.

Abilità comunicative: Più che buona capacità di comunicare significati matematici. Uso appropriato e rigoroso del linguaggio matematico.

Capacità di apprendere: Più che buona capacità di collegare tra loro argomenti studiati. Capacità di risolvere problemi in piena autonomia.

30-30 e lode

Conoscenza e comprensione argomento: Ottima. Con approfondimenti.

Conoscenze applicate: Ottima capacità di manipolazione degli oggetti matematici. Capacità di risoluzione dei problemi secondo procedure corrette non standard.

Autonomia di giudizio: Ottima capacità di dare giudizi su fatti reali o realistici a partire da considerazioni matematiche e di fare considerazioni matematiche a partire da fatti reali.

Abilità comunicative: Ottima capacità di comunicare significati matematici. Uso appropriato e rigoroso del linguaggio matematico.

Capacità di apprendere: Ottima capacità di collegare tra loro argomenti studiati. Capacità di porre problemi e di risolvere problemi in piena autonomia.

La verifica dell’apprendimento potrà essere effettuata anche per via telematica, qualora le condizioni lo dovessero richiedere. A garanzia di pari opportunità e nel rispetto delle leggi vigenti, gli studenti interessati possono chiedere un colloquio personale in modo da programmare eventuali misure compensative e/o dispensative, in base agli obiettivi didattici ed alle specifiche esigenze. È possibile rivolgersi anche al docente referente CinAP (Centro per l’integrazione Attiva e Partecipata — Servizi per le Disabilità e/o DSA) del Dipartimento (https://www.cinap.unict.it/content/referenti).

ESEMPI DI ESERCIZI PER LO SCRITTO

• Trovare il dominio della seguenti funzione: f(x)= log(1-x²)
• Scrivere una funzione il cui dominio sia x>1
• Trovare la funzione lineare r(x) passante per i due punti A=(2, 6) e B=(0, 4) e rappresentarla graficamente. Trovare l'immagine di x=3 e la controimmagine di y = 7
• Rappresentare sul piano cartesiano la parabola di equazione y = -x^2+4x-4 e trovare il vertice, l'asse di simmetria e le intersezioni con gli assi cartesiani
• Un agricoltore sta pianificando di coltivare in una certa porzione di terreno ed è interessato a conoscere l’angolo di pendenza. Se immaginiamo di rappresentare la porzione di terreno con un triangolo rettangolo, in cui un cateto giace sulla superficie orizzontale, la cui ipotenusa misura 10 m e il cateto verticale misura 1,5 m, determina l’ampiezza dell’angolo di pendenza opposto al cateto verticale.
• Calcolare il limite per x tendente all'infinito della funzione f(x)= (x²-1)/(x²)
• Studiare l'andamento e produrre il grafico della funzione f(x) = x * e^x
• Una popolazione di batteri segue l’andamento della funzione logistica p(t)=  1000/(1 +e^(-2t) ) , con t>=0, dove la variabile t esprime il tempo in giorni e p(t) la numerosità della colonia batterica. Calcolare il limite lim_(t→+∞)⁡ p(t) . Cosa deduciamo dal limite calcolato?
• Calcolare il pH di un suolo la cui concentrazione di ioni idrogeno , espressa in mol/L, è di , ricordando che il pH di una soluzione è  Calcolare nuovamente i pH di due porzioni A e B del suolo originale, quando il suolo viene trattato con un fertilizzante la cui concentrazione di ioni idrogeno:

A.            Decuplichi

B.            Raddoppi

Il suolo originale e le due porzioni A e B sono acide, basiche o neutre?

 

• Descrivere il comportamento della funzione p(t) = 1 / [1+ e ^-2t] che esprime l'andamento di una popolazione.
• Scrivere due funzioni reali a variabile reale f_1 (x) ed f_2 (x), con le seguenti caratteristiche: f_1 (x), il cui Dominio sia x≠-1 e che abbia l’asse x come asintoto orizzontale; f_2 (x), il cui Dominio sia x<0  e  x>2. Giustificare le risposte.
• Nelle prime tre prove parziali di matematica, i voti di Liliana sono stati 24, 18, 27. Il voto della quarta e ultima prova non ha modificato la media (aritmetica). Qual è il voto della quarta prova? 
• In un frutteto, si è deciso di studiare la produzione di mele in un determinato anno. Sono stati raccolti i dati sulla quantità di mele prodotte (in kg) in 10 alberi selezionati casualmente. Ecco i dati raccolti: 15, 20, 18, 26, 23, 17, 19, 23, 23, 16. Calcola: media aritmetica, mediana e deviazione standard.
• Cosa si può dedurre da un insieme di dati, se la media aritmetica risulta minore della mediana? 
• Scrivere un insieme di dati la cui media sia aritmetica sia maggiore della mediana.
• Determinare media e mediana del seguente insieme di dati: 1, 2, 3, 6, 7, 7, 8, 9.
• Su una popolazione di 5 piante di mais sono state misurate l’altezza delle piante e la lunghezza delle foglie. I dati ottenuti sono riportati nella tabella seguente. Le due grandezze misurate sono correlate? Se sì, in che modo?

       

   ESEMPI DI DOMANDE ORALI

• Definire le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente.
• Enunciare il teorema dei seni.
• Come si risolve un triangolo rettangolo?
  • Come si può rappresentare sul piano cartesiano un fenomeno dall’andamento lineare? Che tipo di equazione sarà associata alla rappresentazione sul piano?
  • Come si definisce una funzione? In quali casi è opportuno usare una funzione per modellizzare un fenomeno reale? Fornire degli esempi
  • Che fenomeno potrebbe descrivere una funzione esponenziale? E una funzione logaritmica?
  • Dare la definizione di limite finito di una funzione reale a variabile reale 
  • A cosa può servire calcolare un limite infinito per una funzione reale a variabile reale? 
  • Dare la definizione di derivata di una funzione reale di variabile reale e spiegarne il significato geometrico
  • A cosa può servire capire l’andamento della derivata di una funzione? Portare degli esempi
  • A cosa serve il calcolo integrale?
  • Dire cosa sono la media e la mediana di un insieme di dati. Quando è meglio usare l'una o l'altra?
  • Cos'è lo scarto quadratico medio (o deviazione standard)?
  • Come si calcola la correlazione tra due set di dati?
  • Come si calcola la retta di regressione?